通用横轴墨卡托投影学习笔记

zxl19 2025-05-31

我的通用横轴墨卡托投影学习笔记。

UTM Hello World

通用横轴墨卡托（Universal Transverse Mercator，UTM）投影是一种地图投影方法，将经纬度转换为二维笛卡尔坐标表示；
UTM坐标是一种水平位置表示方式，忽略了海拔高度，将地球建模为完美椭球体；
UTM坐标格式：
```
 [经度区间][纬度区间][方格坐标]
```
- 经度区间：从西经180°开始，每6°一个区间，自西向东按照从0到60排列；
  - 在挪威西海岸以及斯瓦尔巴群岛附近的区域有例外；
- 纬度区间：从南纬80°开始，每8°一个区间，自南向北按照从C到X排列；
  - 覆盖南纬80°到北纬84°N之间的区域；
  - 为避免和数字1和0混淆，跳过I和O；
- 方格坐标：使用东向坐标（easting）和北向坐标（northing）表示，原点是中央经线和赤道的交点；
  - 为避免东向坐标出现负值，将原点西移500千米，东向坐标取值范围为0-10000千米；
  - 在北半球，北向坐标取值范围为0-9300千米；
  - 在南半球，北向坐标取值范围为10000-11000千米；
UTM投影在中央经线处的尺度因子为0.9996，保证每个分区内的尺度因子均在1附近，在使用时，可以认为是等尺度的，误差不超过千分之一；
经度小数点后六位精确到米，纬度受到实际纬度影响，在中国可以认为经纬度取到小数点后六位大约在米级精度；
主要城市UTM分区：
- 50N：北京、广州；
- 49N：深圳；

算法实现

使用hobuinc/mgrs工程中utm.h文件中定义的转换函数可以实现经纬度和UTM投影之间的相互转换：

原型声明：

long Convert_Geodetic_To_UTM(double Latitude,
                             double Longitude,
                             long* Zone,
                             char* Hemisphere,
                             double* Easting,
                             double* Northing);
long Convert_UTM_To_Geodetic(long Zone,
                             char Hemisphere,
                             double Easting,
                             double Northing,
                             double* Latitude,
                             double* Longitude);

返回值含义：

#define UTM_NO_ERROR            0x0000
#define UTM_LAT_ERROR           0x0001
#define UTM_LON_ERROR           0x0002
#define UTM_EASTING_ERROR       0x0004
#define UTM_NORTHING_ERROR      0x0008
#define UTM_ZONE_ERROR          0x0010
#define UTM_HEMISPHERE_ERROR    0x0020
#define UTM_ZONE_OVERRIDE_ERROR 0x0040
#define UTM_A_ERROR             0x0080
#define UTM_INV_F_ERROR         0x0100

收敛角

收敛角（Convergence Angle，CA）指的是UTM投影中某一点处的网格北（Grid North）与真北（True North）之间的夹角。

#include <cmath>

static constexpr double kDEG2RAD = 0.017453292519943;   // deg -> rad
static constexpr double kRAD2DEG = 57.295779513082323;  // rad -> deg

/**
 * @brief 计算给定经纬度位置处的收敛角
 * @note 中央子午线采用六度带规定
 * @param lon_deg 经度，单位为度，东经为正，西经为负
 * @param lat_deg 纬度，单位为度，北纬为正，南纬为负
 * @return double 收敛角，单位为度，网格北转向真北，逆时针为正
 */
inline double GetConvergenceAngle(double lon_deg, double lat_deg) {
  if (lon_deg < -180 || lon_deg > 180) {
    LOG(ERROR) << "Invalid longitude: " << std::to_string(lon_deg) << " deg.";
    return 0.0;
  }
  if (lat_deg < -90 || lat_deg > 90) {
    LOG(ERROR) << "Invalid latitude: " << std::to_string(lat_deg) << " deg.";
    return 0.0;
  }
  int N = std::floor(std::abs(lon_deg) / 6);
  double central_meridian = std::copysign(6 * (N + 1) - 3, lon_deg);
  // *精确公式
  double convergence_angle =
      std::atan(std::tan((lon_deg - central_meridian) * kDEG2RAD) * std::sin(lat_deg * kDEG2RAD)) * kRAD2DEG;
  // *近似公式，仅在距离中央子午线较近的时候成立
  // double convergence_angle = (std::sin(lat_deg * kDEG2RAD)) * (lon_deg - central_meridian);
  return convergence_angle;
}

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算法实现

收敛角

参考